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샤프지수(sharp ratio)
자산배분 투자에 있어서 어떤 포트폴리오를 선택할지 결정하는 것은 매우 중요한 일입니다. 어차피 미래는 예측할 수 없으므로 우리는 최대한 합리적인 선택을 하기 위해서 여러 가지 방법으로 포트폴리오를 평가해봅니다. 과거 데이터를 기반으로 백테스트를 수행했을 때, 주로 등장하는 연평균 성장률(CAGR)과 표준편차를 이용한 변동성에 대해 살펴보는 글을 작성하였습니다. 혹시, 안보셨다면 이 글을 읽기전에 한번 보시길 권해드립니다.
2021.03.08 - [투자 공부/기초] - 수익률과 기하평균
2021.03.12 - [투자 공부/기초] - 변동성과 표준편차
오늘은 수익률과 변동성을 이용하여 포트폴리오를 평가하는 샤프지수(sharp ratio)에 대해서 공부한 내용에 대해서 정리할 예정입니다. 그리고 샤프지수와 같이 등장하는 자매품! 소르티노 지수(sortino ratio)에 대해서도 같이 정리하도록 합니다.
조금 더 원활한 이해를 돕기 위해서 중학교 때 배운, 직선의 방정식에 등장하는 기울기(slope)를 가지고 설명해보도록 하겠습니다.
직선의 방정식에서 기울기
중학교때, 일차함수 그리고 직선의 방정식을 배우면서, 우리는 다음과 같은 친숙한 식은 이미 잘 알고 있습니다.
a는 직선의 기울기를 나타내고, b는 y절편을 나타냅니다. 계산하기 쉽게 하기 위해서 y절편인 b는 0으로 가정하고 설명을 해보겠습니다. 우리는 기울기에만 관심이 있고, y축의 어느 점을 지나는지는 관심이 없기 때문입니다. b가 0이라고 하고, 우리는 각각 a=1, a=2, a=1/2인 경우에 대해서 그래프를 살펴보면 아래와 같습니다. 원점을 지나는 3개의 직선을 볼 수 있습니다.
우리는 위 그래프를 통해서 아래와 같은 사항을 유추할 수 있습니다.
1. 기울기(a값)가 커질 수록 직선의 경사가 가파르게 된다. 반대로 작아질수록 완만해진다.
2. 기울기의 정의는 "y의 변화량 / x의 변화량"과 같은 비율로 정의되므로, 어느 구간에서나 동일하다.
샤프 지수랑 무슨 상관일까요?
결론부터 말씀드리자면, 샤프지수는 위에서 설명드린 직선의 방정식에서 "기울기"라고 할 수 있습니다. x축을 변동성이라고 하고, y축을 수익률이라고 놓고 보면, 변동성과 수익률 사이의 비율이 되겠습니다.
즉, 내가 투자하는 포트폴리오의 변동성을 감수하는 대신, 얼마나 수익을 얻을 수 있는지 비율로 나타낸 수치라고 할 수 있습니다.
x가 1일 때, y값이 되는 직선의 위치를 검은색 점으로 표시를 해두었습니다. 각각 포트폴리오의 기울기는 다음과 같습니다.
포트폴리오 A의 기울기는 2, B의 기울기는 1, C의 기울기는 0.5입니다. x축이 변동성이므로, 1만큼의 변동성을 감수하고 투자를 하였을 경우, 각각 얻은 수익이 2, 1, 0.5라는 이야기입니다.
이 내용으로 보아 샤프 비율을 보고 판단할 때는 값이 클수록 좋다고 할 수 있습니다. 샤프 비율은 그 자체로 포트폴리오의 어떤 성과나 위험도를 절대적인 지표로 평가할 수 있는 것은 아니고, 여러 개의 포트폴리오나 자산을 비교해 보가 위한 수단으로 사용됩니다.
자연스럽게, 이 값이 커지려면, 분자는 커져야 하고, 분모는 작아져야 하므로, 수익률은 커질수록, 그리고 변동성은 작아질수록 높은 샤프 비율 값을 갖게 됩니다. 우리는 수익률과 변동성을 동시에 고려할 수 있는 평가지표로 샤프 비율을 사용하면 되겠습니다.
샤프 비율의 정의
대략적인 샤프 비율의 느낌(?)을 설명을 해보려고, 그래프 그림을 들고 나왔습니다만, 위키에 있는 공식을 바탕으로 조금 더 면밀하게 정의를 살펴보겠습니다.
Willam Sharpe라는 사람이 처음 개발을 했고, 본인의 이름을 따서 샤프지수라고 명명되었습니다. 수익률의 경우 자산의 수익률에서 무위험 자산 수익률을 뺀 수익률을 사용하고 있습니다. 보통 무위험 수익률은 리스크 없이 확정적으로 얻을 수 있는 수익을 말하는데, 보통 정기예금 금리를 생각하시면 됩니다. 이를 초과 수익률이라고 명명을 하였습니다. 이렇게 한 이유는 실제로 포트폴리오를 운용함으로써 얻는 수익을 명확하게 하기 위함입니다.
명확하게 한다는 의미는, 시중 금리가, 막 4~5%에 달하던 시절에 8%의 수익과, 1~2%인 시절에 8%의 수익은 다르게 평가한다는 것을 뜻합니다. 그리고, 공식에서는 표준편차가 등장하는데, 이것은 지난 포스팅에서 말씀드렸듯, 변동성을 측정하는 수단으로 표준편차가 사용되기 때문입니다.
그런데, 사실 요즘 같은 제로금리 시대에서는 무위험 수익률 자체가 워낙 낮기 때문에 샤프지수를 계산할 때는 무위험 수익률은 무시해도 큰 영향은 없을 듯합니다. 실제로 그래프를 그려봐도, y=1x나 y=0.9x 나 거의 기울기에는 변화가 미미하기 때문입니다.
샤프 비율의 한계
변동성 관련 설명을 드리면서, 변동성은 자산이 상승할 때 형성되는 양의 변동성과 하락할 때 형성되는 음의 변동성 이렇게 두 가지로 구분해서 정의를 하였습니다.
표준편차의 정의를 상기해보시면, 편차에 제곱을 수행함으로써, 그 방향성은 사라지고 평균과 얼마나 떨어져 있는지 그 거리의 성질만 남게 된다고 말씀드렸습니다. 이처럼 표준편차 자체로는 양의 방향인지 음의 방향인지 알 수가 없다는 뜻입니다.
간단하게 그래프 하나를 그려봤습니다. 와~ 이런 포트폴리오만 있다면 영 끌 해서 투자를 하고 싶군요. 특징은 "양의 변동성"만 있는 모양입니다. 하지만 표준편차의 입장에서는 양의 변동성도 평균과 떨어져 있는 정도가 있으므로, 모두 변동성으로 간주되어서, 샤프 비율의 분모 값을 크게 하는 역할을 할 것입니다.
위험 대비 수익을 표현해야 하는 샤프지수의 정의에 비춰보면 과연 양의 변동성이 위험성으로 보는 게 맞는 것인지 좀 애매한 상황이 발생했다고 보입니다. 그래서 이런 상황을 조금 더 객관적으로 "위험성에 기반한"지표가 나오게 되는데 이게 바로 소르티노 지수(sortino ratio)입니다.
소르티노 지수(sortino ratio)
소르티노 지수는 기본적으로 의미는 샤프 지수와 동일합니다. 단, 변동성을 계산하는 부분에서 양의 변동성은 제외하고 음의 변동성에 대해서만 표준편차를 이용하여 계산을 수행합니다.
기본적으로 샤프 비율과 동일하고, 분모 부분만 변수를 바꾸어서 표현을 해보았습니다. 양의 변동성을 제외하였기 때문에, 샤프 지수에서 사용된 변동성보다 작은 값이 사용되었을 것이고, 상대적으로 소르티노 지수가 샤프지수보다 더 큰 값을 갖게 됩니다.
절대적으로 얼마 이상이면 좋다는 기준은 없고, 둘 다 클수록 좋은 것이고, 다른 포트폴리오와 비교할 때 사용하면 됩니다.
Case Study : 미국 주식 vs 주식:채권 포트폴리오 비교
portfoliovisualizer를 사용하면, 자산 간 상관관계나 연평균 성장률, 그리고 샤프 비율 같은 지수를 바로바로 계산해주기 때문에 참 편리합니다. 실제로 미국 주식 100%인 포트폴리오와 미국 주식:채권의 6:4 배분 전략 포트폴리오의 샤프지수와 소르티노 지수를 비교하여 살펴보겠습니다.
몇 가지 지표만 추려서 정리해보면 아래와 같습니다.
| 구분 | CAGR | Max. Drawdown | Sharp ratio | Sortino ratio |
| Portfolio 1 (주식 100%) |
10.67% | -50.89% | 0.54 | 0.78 |
| Portfolio 1 (6:4 전략) |
0.98% | -20.20% | 0.65 | 0.96 |
참고로, portfoliovisualizer에서는 샤프지수를 계산할 때 무위험 자산으로 3개월 만기 국채 채권 금리를 사용한다고 합니다.
Sharpe and Sortino ratios are calculated and annualized from monthly excess returns over risk free rate (3-month treasury bill)
2021년 3월 12일 기준 0.4% 정도라고 하는데, 요즘 같은 제로금리 시대를 잘 말해주는 듯합니다. 보통 채권을 섞으면 수익률은 떨어지지만, 변동성이 줄어들어서 유리하다고 이야기합니다. 최종 수익금액만 두고 보면, 주식으로만 운용한 것이 약 100만 달러 정도 더 이득이 있습니다.
하지만, MDD가 -50%대인 걸로 보아, 내 포트폴리오에서 반토막이 날 수도 있다는 것을 감안해야 할 것입니다. 대체적으로 수익률은 높으나 변동성이 크니까, 샤프지수가 낮게 계산된 것을 볼 수 있습니다. 또한 양의 변동성이 제거된 만큼 소르티노 지수는 그만큼 크게 계산이 되었습니다.
마치며
오늘은 샤프지수와, 이를 보완한 소르티노 지수를 직선의 방정식에서 기울기 개념을 이용하여 설명을 해보았습니다. 기울기가 가파른 직선의 경우 동일한 x값에서도 더 큰 y값을 얻을 수 있습니다. 즉, 동일한 변동성(위험, x값)을 감수하고도 수익(y값)이 더 좋은 것이니 높을수록 좋은 포트폴리오라고 생각하면 됩니다.
샤프지수는 양의 변동성까지도 위험으로 인지해서 계산에 포함시키므로, 실제 위험으로 작용하는 음의 변동성만을 표준편차로 취해서 계산한 지수가 소르티노 지수입니다. 변동성이 작으니까 샤프지수보다는 값이 크게 계산이 될 것입니다.
계산에 사용되는 수익률은 무위험 자산 수익률을 뺀 자산 수익률로 초과수익률을 사용하여야 합니다. 하지만 요즘같은 제로금리 시대에서는 그만큼 큰 영향은 없다고 봐도 무방할 것입니다.
이러한 지수들을 복합적으로 판단해서 내 투자성향에 맞는 포트폴리오를 선택할 때 참고하시면 좋을 것 같습니다.
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